在数学分析中，泰勒展开是一种非常重要的工具，它能够将复杂的函数近似为多项式的形式。这种展开方式不仅在理论研究中有重要作用，在实际应用中也极为广泛，特别是在物理学、工程学和计算机科学等领域。以下是常用的十个泰勒展开公式，它们可以帮助我们更好地理解和运用这一数学工具。
1. 指数函数 e^x
泰勒展开为：
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]
这一公式适用于所有实数 \( x \)，并且收敛速度快。
2. 自然对数 ln(1+x)
当 \(|x| < 1\) 时，其泰勒展开为：
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots
\]
3. 正弦函数 sin(x)
泰勒展开为：
\[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\]
4. 余弦函数 cos(x)
泰勒展开为：
\[
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
\]
5. 反正切函数 arctan(x)
当 \(|x| \leq 1\) 时，其泰勒展开为：
\[
\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
\]
6. 幂函数 (1+x)^n
当 \(|x| < 1\) 且 \( n \in \mathbb{R} \) 时，其泰勒展开为二项式展开：
\[
(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots
\]
7. 双曲正弦函数 sinh(x)
泰勒展开为：
\[
\sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots
\]
8. 双曲余弦函数 cosh(x)
泰勒展开为：
\[
\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots
\]
9. 反双曲正弦函数 arcsinh(x)
当 \(|x| < 1\) 时，其泰勒展开为：
\[
\text{arcsinh}(x) = x - \frac{x^3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5}x^5 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}x^7 + \cdots
\]
10. 反双曲余弦函数 arccosh(x)
当 \(x > 1\) 时，其泰勒展开为：
\[
\text{arccosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
\]
以上这些公式展示了泰勒展开的强大功能。通过这些展开，我们可以将复杂的非线性函数转化为易于处理的多项式形式，从而简化计算和分析过程。掌握这些公式对于学习高等数学、物理以及其他相关学科都具有重要意义。
