在学习向量的过程中，很多同学都会遇到一个常见的问题：两个向量相乘，它们的坐标之间有什么关系？ 有时候，我们可能记不清具体的公式，或者对它的几何意义不太清楚。今天我们就来一起回顾一下这个知识点，帮助你重新理解向量相乘的基本原理。

首先，我们需要明确的是，向量之间的“乘法”并不是像数与数之间的乘法那样简单。在数学中，向量的乘法主要有两种形式：点积（内积） 和 叉积（外积），它们分别有不同的定义和应用场景。

一、点积（内积）

点积是两个向量之间最常见的一种“乘法”方式。它的结果是一个标量（即一个数值），而不是一个向量。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂)，向量 b = (b₁, b₂)，则它们的点积为：

$$

a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2

$$

如果是在三维空间中，向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则点积公式为：

$$

a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

几何意义：

点积还可以用角度来表示，即：

$$

a \cdot b = |a||b|\cos\theta

$$

其中，θ 是两个向量之间的夹角，|a| 和 |b| 分别是两个向量的模长。

也就是说，点积不仅与向量的坐标有关，还与它们的方向有关。

二、叉积（外积）

叉积是两个向量在三维空间中进行的一种乘法运算，其结果是一个向量，而不是标量。

公式（三维情况）：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

也可以通过行列式的方式计算：

$$

a \times b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

几何意义：

叉积的结果是一个垂直于这两个向量所组成的平面的向量，其方向由右手定则决定，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

三、坐标之间的关系

回到你最初的问题：“两个向量相乘，两个坐标有什么关系？”其实这个问题的答案取决于你指的是哪种乘法。

- 如果是点积：两个向量的对应坐标相乘后求和，得到一个标量。

- 如果是叉积：两个向量的坐标按照特定规则组合，得到一个新的向量。

所以，它们的“坐标关系”是根据不同的乘法类型而变化的。

四、如何记忆这些公式？

如果你已经忘记了这些公式，可以尝试以下方法：

1. 点积：记住“对应相乘再相加”，这在二维或三维中都适用。

2. 叉积：可以借助右手法则或行列式的形式来记忆，尤其是三维情况下更直观。

3. 几何意义：点积与角度有关，叉积与面积和方向有关，理解这些可以帮助你更好地掌握公式。

五、总结

- 向量相乘有点积和叉积两种方式。

- 点积的结果是标量，公式为对应坐标相乘再相加。

- 叉积的结果是向量，需要通过行列式或特定公式计算。

- 两者都与向量的坐标密切相关，但作用不同，用途也不同。

如果你在学习过程中对这些概念感到模糊，不妨多做一些练习题，结合图形和实际例子来加深理解。希望这篇文章能帮你找回那些“被遗忘”的知识！