求不定积分 ∫arccosx dx，核心方法是分部积分法，把反三角函数 arccosx 当作 u，dx 当作 dv，套用分部积分公式 ∫u dv = uv − ∫v du，最终得到结果：
∫arccosx dx = x・arccosx − √(1−x²) + C
其中 C 为积分常数，这个是高等数学里面反三角函数不定积分的经典题型，因为 arccosx 本身不容易直接积分，分部积分是最标准解法。
之所以选用分部积分，是因为被积函数是反三角函数，反三角函数求导之后会变成代数根式形式，降低积分难度，这也是反三角函数积分通用解题思路，优先分部积分。
分部积分公式回顾
分部积分公式：∫u dv = uv − ∫v du
本题设定：
u = arccosx
dv = dx
求导与积分：
du = − 1 / √(1−x²) dx
v = ∫dx = x
详细计算步骤
1 代入分部积分公式
∫arccosx dx = x・arccosx − ∫ x・(− 1 / √(1−x²)) dx
化简负号：
= x・arccosx + ∫ x / √(1−x²) dx
2 计算剩余积分 ∫ x / √(1−x²) dx
换元：令 t = 1−x²，dt = −2x dx，x dx = −½ dt
∫ x / √(1−x²) dx = ∫ (1/√t)・(−½ dt) = −½ ∫ t^(−1/2) dt
= −½・2√t + C = −√t + C = −√(1−x²) + C
3 合并结果
∫arccosx dx = x・arccosx − √(1−x²) + C
结果对照表
表格
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 积分类型 | 不定积分 |
| 被积函数 | arccosx |
| 解题方法 | 分部积分法 + 换元积分 |
| 最终结果 | x arccosx − √(1−x²) + C |
| 定义域 | x∈[-1,1] |
验证求导检验
对 F (x)= x arccosx − √(1−x²) 求导
F'(x)= arccosx + x・(−1/√(1−x²)) − (1/(2√(1−x²)))・(−2x)
= arccosx − x/√(1−x²) + x/√(1−x²)
= arccosx
求导还原原函数，说明积分结果正确。
【相关 FAQ】
问题 1 arccosxdx 的积分能不能用换元法直接做
回答 1 arccosxdx 的积分可以设 x=cost 换元，但是主流标准解法是分部积分，arccosxdx 的积分使用分部积分计算步骤更加简洁。
问题 2 arccosxdx 的积分定积分怎么算
回答 1 arccosxdx 的不定积分原函数是 x arccosx −√(1−x²)+C，计算 arccosxdx 的定积分时，直接代入上下限，使用牛顿莱布尼茨公式即可。
问题 3 arccosxdx 的积分为什么会有常数 C
回答 1 arccosxdx 的积分属于不定积分，不定积分代表全部原函数族，所以 arccosxdx 的积分结果末尾必须加上积分常数 C。
问题 4 arccosxdx 的积分和 arcsinx 积分结果有什么关联
回答 1 arccosxdx 的积分结果是 x arccosx −√(1−x²)+C，arcsinx 积分是 x arcsinx +√(1−x²)+C，arccosxdx 的积分和 arcsinx 积分结构相似，符号有区别。
【免责申明】
本文 arccosxdx 的积分求解过程仅供高等数学学习参考，解题步骤以教材标准写法为准，计算过程请自行复核，学习相关习题产生的结果由学习者自行承担。
