log 以 3 为底 2 的对数 换底求值详解

log 以 3 为底 2 的对数记作 log3 2，它是无理数，精确形式就是 log3 2，通过换底公式算出近似值约等于 0.6309，这个对数的含义就是求 3 的多少次方等于 2，也就是满足 3 的 x 次方等于 2，x 就是 log3 2，因为底数 3 大于 1，对数函数单调递增，3 的 0 次方等于 1，3 的 1 次方等于 3，所以可以判断这个数值介于 0 和 1 之间，这道题是高中换底公式经典题型，如果题目要求精确结果就保留原式，要求小数就使用换底公式转成 ln 或者 lg 计算。

基础定义

log a b 里面，a 是底数，b 是真数，本题底数 a 等于 3，真数 b 等于 2，底数 3 大于 0 且不等于 1，真数 2 大于 0，对数有意义。

对数定义：如果 a 的 x 次方等于 b，那么 x 等于 log a b，代入本题就是 3 的 x 次方等于 2，求 x。

换底公式计算步骤

第一步 回忆换底公式 log a b 等于 log c b 除以 log c a，可以选择自然对数 ln，也可以选择常用对数 lg。

第二步 代入本题，log3 2 等于 ln2 除以 ln3，也可以写成 log3 2 等于 lg2 除以 lg3。

第三步 代入必背近似数值，ln2 约等于 0.6931，ln3 约等于 1.0986，做除法 0.6931 除以 1.0986，得到近似值约 0.6309。

如果使用 lg 计算，lg2 约等于 0.3010，lg3 约等于 0.4771，0.3010 除以 0.4771，同样得到约 0.6309，两种换底方式结果一致。

拓展性质

倒数性质，log3 2 乘以 log2 3 等于 1，也就是 log3 2 和 log2 3 互为倒数，log2 3 近似值约 1.5850。

大小判断，因为底数 3 大于 1，函数单调递增，2 小于 3，所以 log3 2 小于 log3 3 等于 1，同时 2 大于 1，log3 2 大于 log3 1 等于 0，也就是 0 小于 log3 2 小于 1。

数值对照表

项目 内容

原式 log3 2

换底形式 ln2 除以 ln3 或者 lg2 除以 lg3

近似小数 约 0.6309

倒数 log2 3 约 1.5850

取值区间 介于 0 和 1 之间

易错点提醒

第一 不要把 log3 2 和 3 的 2 次方搞混，3 的 2 次方等于 9，幂运算和对数是互逆运算，对数是求指数，幂运算是求幂结果。

第二 换底公式分子分母不要颠倒，分子是真数的对数，分母是底数的对数。

第三 这个数是无理数，不能化成简单分数，题目没有要求近似值的时候优先保留原式 log3 2。

问题 1 log 以 3 为底 2 的对数能不能化成整数

回答 1 log 以 3 为底 2 的对数是无理数，不能化成整数，3 的整数次方只能得到 1 3 9 这类数值，得不到 2，所以 log 以 3 为底 2 的对数只能保留原式或者写近似小数。

问题 2 log 以 3 为底 2 的对数为什么可以用 lg 计算

回答 1 根据换底公式，log 以 3 为底 2 的对数等于 lg2 除以 lg3，lg 是 10 为底常用对数，是 log 以 3 为底 2 的对数求值最常用计算方式。

问题 3 log 以 3 为底 2 的对数和 log2 3 是什么关系

回答 1 根据换底推论，log 以 3 为底 2 的对数乘以 log2 3 等于 1，两者互为倒数，log 以 3 为底 2 的对数小于 1，log2 3 大于 1。

问题 4 log 以 3 为底 2 的对数是正数还是负数

回答 1 真数 2 大于 1，底数 3 大于 1，单调递增，所以 log 以 3 为底 2 的对数是正数，数值在 0 到 1 之间。

本文为高中数学对数学习科普，仅用于备考参考，近似小数存在精度取舍，正式考试以题目要求精度和教材书写规范为准。